本文公开了用以纯化针对T门的魔幻态的示例实施例。具体示例具有低空间开销并且使用渐近最优数目的输入魔幻态来实现给定的目标误差。在一些实施例中，在电路中分多个步骤注入输入魔幻态，而不是在电路开始处注入所有的输入魔幻态。可以对协议的实施例进行修改，以纯化处于Clifford层次结构的第三级别下的其他门的魔幻态。协议的某些实施例依赖于具有许多逻辑量子比特和大距离的弱自对偶Calderbank‑Shor‑Steane码(“CSS码”)的结构，从而允许人们实现对多个量子比特的控制‑交换。备选地，人们可以使用弱自对偶CSS码，该弱自对偶CSS码针对内码实现受控Hadamard，从而减小电路深度。本文公开了该协议的多个具体的小示例。